目前广义相对论的物理意义基本捋清，关键就在数学上。

　　两人就像在竞赛跑。

　　但希尔伯特选的赛道相对比较狭窄，爱因斯坦选择的是数学－物理双重方案，希尔伯特则主要采用了力图找到协变方程的数学方案。

　　希尔伯特的那句名言不得不再引述一遍：“对物理学家来说，物理学太难了！”

　　爱因斯坦在广义相对论的研究中遇到了诸多困难，但他有一点非常让人佩服，出色的物理直觉下的坚定不移。

　　各位都知道，量子力学是一众大神花了上百年才慢慢搭建完成的；而相对论几乎就是爱因斯坦靠一己之力完成。

　　所以爱因斯坦才能在物理学界有如此高的地位，按照朗道对物理学家的排名，T0级别只有一个，牛顿；

　　T0.5也只有一个，即爱因斯坦。

　　玻尔、海森堡、狄拉克这些响当当的大神只能排在T1。

　　然而从另一个角度看，其实爱因斯坦的研究工作比大多数科学家更孤独。

　　好在无论别人多么怀疑，他总是坚信自己。

　　爱因斯坦并非冥顽不化，到了10月份（离着他发现广义相对论场方程只剩一个多月），他终于放弃了以前的错误观点，把目光由物理方案（强调对于物理学基本原理的感受）转向相对更多地依靠数学方案，即运用黎曼和里奇张量。

　　此前李谕来柏林与爱因斯坦见面时，就给他提过这个问题。

　　但爱因斯坦对黎曼数学的研究没有持续下去，此时的他终于发现由黎曼数学可以产生广义协变的引力场方程。

　　然后，爱因斯坦的重心就转变为找到广义协变方程这一数学目标。

　　怎么说哪，数学又成了希尔伯特最擅长的。

　　接近1915年尾声时，李谕才收到爱因斯坦的两封信，第一封信中爱因斯坦说：“对之前理论的信任完全消失之后，我清楚地看到，只有通过广义协变理论，也就是与黎曼协变量结合，才可能找到令人满意的解答。很遗憾我没能在去年就坚持你给我说的。”

　　确定方向后，爱因斯坦花了四个多星期疯狂推演，摆弄一大堆张量和方程，不断修正和翻新。而且每周他都会在普鲁士科学院进行演讲，并于演讲的过程中继续自己的计算。

　　大概在11月4日时，他的方程仍然不是广义协变的。

　　——要达到这一步还需要三个星期。

　　11月11日，爱因斯坦提交了第二篇论文。

　　他在其中使用了里奇张量，指定了新的坐标条件，使得方程似乎具有广义协变性。但事实表明，问题并没有得到根本解决。

　　爱因斯坦距离最终答案只有一步之遥，却始终迈不过去。

　　这种感觉估计很多人都有所体会。

　　无奈之下，爱因斯坦只能再次把论文寄给希尔伯特，虽然知道两人目前属于“竞争对手”，但被封锁的德国短期也联络不上外头的人。

　　“倘若我目前的修改是合理的，那么在物质构成方面，引力必定起着基础性作用，”爱因斯坦颇为无奈地说，“但这将使我的工作更加困难！”

　　——引力是人类最早发现的力之一，也是最神秘的力，到李谕穿越前，仍充满未知之谜，比如那个令无数物理学家魂牵梦绕却始终未能发现的“引力子”。

　　谁要是能发现它，肯定当年就能拿诺奖……

　　希尔伯特的回信却令爱因斯坦十分坐立不安，因为他在信中说：“我正准备就你提出的重大问题，给出一种公理化的解决方案。”

　　非常符合目前希尔伯特的公理化研究方向。

　　只是希尔伯特并没有明确说出自己的研究进展，只是说等这项物理研究做出实质性的推进时，再做讨论。

　　（事实上，希尔伯特也卡住了。）

　　但希尔伯特还是想邀请爱因斯坦亲自来一趟哥廷根，当面把自己的理论详细阐述一遍。

　　最有意思的是，希尔伯特在信的最后加上了一段挑逗式的附言：“根据我对你这篇新论文的理解，你所给出的解答与我的完全不同。”

　　希尔伯特想法肯定是友好的，只不过爱因斯坦没有时间前往哥廷根。

　　有时候灵感来的就是那么突然。几天后，在普鲁士科学院的演讲中，爱因斯坦讲着讲着，瞬间顿悟了，长久的量变引发质变，在这一刻，终于把最难的那一步夸了过去。

　　八年前，爱因斯坦第一次开始表述广义相对论，曾说过一个结论：引力会使光线弯曲。

　　这是广义相对论最核心的观点之一。他计算出，太阳附近的引力场将使光线大约偏折0.83弧秒，这与把光视作粒子的牛顿理论的预言相符。

　　他请了一队天文学探险队前往克里米亚观测日食，以验证自己的观点。但探险队因为一战的突然爆发，在车厢上时就被俄军带走，无法完成观测。这个举动阴差阳错下帮了爱因斯坦一个大忙，因为那时候他给出的数据是错误的。

　　利用修正后的新理论，考虑时空弯曲所产生的效应，爱因斯坦计算出的光线弯曲是过去计算值的两倍。现在，他预言太阳引力将使光线大约偏折1.7弧秒。

　　只不过这一预言必须等到三年多之后再次发生合适的日食才能被检验。

　　但对此他的信心大了很多，毕竟数学上的推导全部顺利完成，除非那天没有日食，否则结果必然是广义相对论大获全胜。

　　此时爱因斯坦还没来得及整理出论文发表。

　　11月18日一早，爱因斯坦收到了希尔伯特的新论文，即那篇他受邀到哥廷根听取的论文。

　　爱因斯坦惊奇且有些沮丧地看到，论文中的观点与他本人的研究竟非常相似。

　　于是他给希尔伯特回了一封信，言辞简洁，旨在肯定他本人工作的优先性。

　　希尔伯特没啥异议，慷慨大度地称自己并没有优先权。“衷心祝贺您拿下了近日点运动，”他在信中幽默地写道，“如果我能像您那样算得那么快，那么在我的公式中，电子就不得不束手就擒，氢原子也会给我写一张歉条，说明为什么它不发出辐射。”

　　但希尔伯特毕竟是希尔伯特，当今数学界领军人。第二天，即11月20日，希尔伯特寄给哥廷根的一家科学杂志一篇论文，宣布了他本人给出的广义相对论方程。

　　他为这篇论文选的标题一点都不谦虚：《物理学的基础》。

　　这些大科学家还是蛮有趣的，一个数学家在写“物理学的基础”。

　　经过一段时间整理，1915年11月25日，这个值得铭刻在物理学丰碑上的日子，爱因斯坦在最后一次讲演“引力的场方程”时，提出了一套协变方程，使广义相对论达到巅峰。

　　优美的广义相对论方程终于出现在了世人面前。

　　在常人看来，这个结果并不像质能公式那样生动。但利用简洁的数学上张量符号，各种纷繁复杂的东西可以被并入下标，最终的爱因斯坦广义相对论场方程非常紧凑、简洁。

　　这是一个真正广义协变的方程，包含了所有运动形式，无论惯性运动、加速运动、旋转运动还是任意运动。

　　关于希尔伯特与爱因斯坦的“广义相对论竞速”，此前提到过一部分，在这值得再多说两句。

　　希尔伯特的方程虽然与爱因斯坦在11月25日讲演的最终版本相差不多，但有一个关键区别：

　　希尔伯特的方程不是真正广义协变的，而且希尔伯特没有把里奇张量收缩，并把得到的里奇标量放入方程。而爱因斯坦在11月25日的讲演中却这样做了。

　　此外，后世的考据发现，希尔伯特在12月份才提交了论文的最终版本。

　　显然希尔伯特在文章的修订版中做了改正，以符合爱因斯坦的版本。并且在谈到引力时，他非常有雅量地加上了“首先由爱因斯坦引入”这一短语。

　　物理学史的研究专家对希尔伯特与爱因斯坦的功劳发生过一小段争论，但他们全都承认广义相对论场方程背后的物理理论应当归功于爱因斯坦。

　　“希尔伯特几乎与爱因斯坦同时独立地发现了最后几个数学步骤，但这些步骤之前的几乎任何东西都要归功于爱因斯坦，”一位研究这段物理学史的专家说，“没有爱因斯坦，广义相对论的引力定律也许要再过数十年才能被发现。”

　　心胸宽广的希尔伯特也是这样认为，他在论文最终的发表版本中明确指出：“在我看来，结果得出的引力微分方程与爱因斯坦建立的宏伟的广义相对论相一致。”

　　此后他一直承认，爱因斯坦是相对论唯一的创造者。

　　但是，——依旧有但是，希尔伯特说：“关于四维几何，哥廷根大街上的每一个孩子都比爱因斯坦知道更多。然而尽管如此，做出这项工作的是爱因斯坦，而不是数学家们。”

　　数学方面，希尔伯特还是相当不服爱因斯坦。

　　——其实要不是爱因斯坦给哥廷根的大佬们讲了大量自己的研究报告，希尔伯特还真不见得能有研究广义相对论场方程的心思。

　　当然，爱因斯坦和希尔伯特本人的关系一直相当不错。

　　恰逢一战，两人又是德国科学界头面人物中唯二反对战争的人，说一句惺惺相惜不足为过。

　　最后嘛，李谕收到信件实在太晚了。

　　他同时收到了爱因斯坦两封信，第一封就是抱怨数学困难的信；第二封则是欣喜地告诉李谕自己终于完成了广义相对论的所有工作。

　　李谕极为感动，对方可是爱因斯坦！

　　而在见到场方程后，李谕也终于能够写点新东西了。

第六百零六章 无界

　　李谕同时收到爱因斯坦时间相隔一个多月的两封信后，很快也知道史瓦西得出了第一个广义相对论场方程的解，——黑洞。

　　此前提到过，场方程虽然看起来人畜无害，但它实际上是有10个未知数的张量方程。准确说，是由10个方程组成的二阶非线性偏微分方程组！

　　张量是个非常好的数学工具，可惜普通人想理解太了，只有少数的纯理科专业才会接触。只需要知道它是个非常难以求解的微分几何方程就是。

　　微分几何的大名说过很多次，就连韦神都在搞，千禧年七大数学问题里也有两个是微分几何领域。

　　这种方程没有通解，只有特殊解。

　　也就是要设定边界问题、初始条件等等，然后得到相对应的一个特解。

　　史瓦西得到的，就是历史上第一个广义相对论场方程的解，即史瓦西解。

　　它也是场方程最出名的一个解，因为史瓦西通过广义相对论在理论上完美推导出了黑洞存在。

　　黑洞这东西虽然到二十一世纪时仍然非常神秘，但确实不是多新鲜的东西。

　　早在十八世纪，拉普拉斯就通过计算发现，一个具有地球同样密度，直径为太阳250倍的明亮天体，它发射的光线将被自己吸引，而不能被我们看到。

　　所以宇宙当中最明亮的天体，却很可能看不见。

　　最后一句话挺有哲学高度。

　　拉普拉斯还给出了黑洞的史瓦西半径公式，即r=2GM/cc（最后cc是光速的平方）。

　　公式没错，与后世用广义相对论推导出来的一样，只不过拉普拉斯的推导过程是错的。

　　他是通过把光假设成粒子计算得出。——话说那时候欧洲大陆的科学家普遍支持光的波动说，拉普拉斯这一点多少有那么一点“离经叛道”。

　　眼下史瓦西的方法当然就是正确的了。

　　此时的史瓦西正在德军服役，处于东线战场，与俄军对峙。

　　史瓦西的速度相当快，得出这个结果距离爱因斯坦发表广义相对论场方程仅仅过去不到一个月。

　　爱因斯坦收到这封来自战壕前线的信时，破旧褶皱的信封上覆满了尘土，寄件人的姓名被一大块血迹盖住，打开后才看到名字：卡尔·史瓦西。

　　“如您所见，战争对我还算温柔，尽管在不远的距离内还能听见猛烈的枪声，但请允许我在您思想的园地中进行这次探索。”

　　——可惜战争对史瓦西并不温柔，几个月后，他就死于疾病。

　　史瓦西在计算过程中，尽可能简化了初始条件，计算了一个非旋转的球形恒星外部的时空曲率，然后得出，如果一颗恒星的所有质量都被压缩到一个足够小的空间（后世称之为史瓦西半径）中，那么所有计算似乎都失效了，时空将无限地自行弯曲下去。

　　对我们的太阳而言，如果它的所有质量都被压缩到不足三公里的半径内，这种情况就会发生；而地球则需要压缩到大约两厘米，也就是差不多一个弹珠那么大。

　　在这种情况下，史瓦西半径之内没有任何东西能够逃脱引力的牵引，甚至连光或其他形式的辐射也不行；时间也将延缓到停滞。换句话说，在外面的观察者看来，史瓦西半径附近的旅行者似乎被冻结了，驻足不前。